問題
A、A、B、B、C、Dの6枚の文字カードを一列に並べます。
2枚のAが隣り合わない並べ方は、全部で何通りありますか。
1．60通り
2．90通り
3．100通り
4．108通り
5．120通り
解答を見る
【解答】
5．120通り
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解説
まず、条件を考えずに6枚を並べる方法を求めます。
Aが2枚、Bが2枚あり、それぞれ同じ文字なので、単純に6！通りではありません。
同じA同士を入れ替えても並び方は変わらず、同じB同士を入れ替えても並び方は変わりません。
したがって、すべての並べ方は、
6！÷（2！×2！）
＝720÷4
＝180通り
です。
次に、2枚のAが隣り合う並べ方を求めます。
2枚のAを「AA」という1つのまとまりと考えます。
並べるものは、
- AA
- B
- B
- C
- D
の5つです。
このうちBが2つ同じなので、並べ方は、
5！÷2！
＝120÷2
＝60通り
です。
したがって、2枚のAが隣り合わない並べ方は、
180－60＝120通り
です。
よって、正解は5です。
【別の考え方】
最初にA以外のB・B・C・Dを並べます。
B・B・C・Dの並べ方は、
4！÷2！＝12通り
です。
例えば、次のように並んだとします。
□ B □ B □ C □ D □
Aを入れられる場所は、両端と文字の間を合わせて5か所あります。
A同士が隣り合わないためには、5か所のうち異なる2か所を選んでAを1枚ずつ入れます。
その選び方は、
5C2＝10通り
です。
したがって、
12×10＝120通り
となります。
【注意点】
同じ文字を含む並べ方では、同じ文字同士を入れ替えてできる重複を除く必要があります。
また、「Aが隣り合わない」を直接考えにくい場合は、
全体－Aが隣り合う場合
と考えると整理しやすくなります。
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